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In der Mathematik ist die Poisson-Transformation ein Verfahren zur Konstruktion harmonischer Funktionen auf der Einheitskreisscheibe. Das Integral, das in dieser Konstruktion auftaucht, heißt Poisson-Integralcite-ref-1[1] und der Integralkern dessen wird Poisson-Kern genannt.cite-ref-2[2] Benannt sind sowohl die Transformation, das Integral und der Integralkern nach dem Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson.

• Problemstellung

• Konstruktion

• Bijektion

• Verallgemeinerungen

• Literatur

• Einzelnachweise

Gegeben ist eine (beschränkte) Funktion auf dem Einheitskreis S 1 = ∂ ∂ D 2 {\displaystyle S^{1}=\partial D^{2}} , gesucht wird eine (beschränkte) harmonische Funktion auf der Einheitskreisscheibe D 2 {\displaystyle D^{2}} , deren Werte auf dem Rand mit der gegebenen Funktion f {\displaystyle f} übereinstimmen.

Mit anderen Worten: es soll das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung

Δ Δ Φ Φ = 0 {\displaystyle \Delta \Phi =0}

auf der Kreisscheibe gelöst werden.

Der Poisson-Kern ist die durch

P ( x , ξ ξ ) = 1 − − ‖ ‖ x ‖ ‖ 2 ‖ ‖ ξ ξ − − x ‖ ‖ 2 ∀ ∀ x ∈ ∈ D 2 , ξ ξ ∈ ∈ S 1 {\displaystyle P(x,\xi )={\frac {1-\|x\|^{2}}{\|\xi -x\|^{2}}}\ \forall x\in D^{2},\xi \in S^{1}}

gegebene Funktion.

Die Poisson-Transformation ist die Integraltransformation mit Integralkern P {\displaystyle P} : einer Funktion f ∈ ∈ L ∞ ∞ ( S 1 ) {\displaystyle f\in L^{\infty }(S^{1})} wird die auf D 2 {\displaystyle D^{2}} definierte Funktion

P f ( x ) = ∫ ∫ S 1 f ( ξ ξ ) P ( x , ξ ξ ) d σ σ ( ξ ξ ) ∀ ∀ x ∈ ∈ D 2 {\displaystyle Pf(x)=\int _{S^{1}}f(\xi )P(x,\xi )d\sigma (\xi )\ \forall x\in D^{2}}

zugeordnet, wobei d σ σ {\displaystyle d\sigma } das uniforme Wahrscheinlichkeitsmaß auf S 1 {\displaystyle S^{1}} bezeichnet.

Man kann zeigen, dass P f {\displaystyle Pf} eine beschränkte harmonische Funktion ist.

Die Poisson-Transformation stellt eine Bijektion zwischen der Menge der beschränkten Funktionen auf S 1 {\displaystyle S^{1}} und der Menge der beschränkten harmonischen Funktionen auf D 2 {\displaystyle D^{2}} her.

Mit anderen Worten: zu jeder Funktion f ∈ ∈ L ∞ ∞ ( S 1 ) {\displaystyle f\in L^{\infty }(S^{1})} gibt es eine eindeutige harmonische Funktion g ∈ ∈ L ∞ ∞ ( D 2 ) {\displaystyle g\in L^{\infty }(D^{2})} mit Randwerten f {\displaystyle f} .

Die Bijektion erhält die L ∞ ∞ {\displaystyle L^{\infty }} -Norm.

Die Poisson-Transformation lässt sich auf die n-dimensionale Einheitskugel verallgemeinern, in diesem Fall ist der Poisson-Kern P ( x , ξ ξ ) = 1 − − ‖ ‖ x ‖ ‖ 2 ‖ ‖ ξ ξ − − x ‖ ‖ n {\displaystyle P(x,\xi )={\tfrac {1-\|x\|^{2}}{\|\xi -x\|^{n}}}} für x ∈ ∈ D n , ξ ξ ∈ ∈ ∂ ∂ D n = S n − − 1 {\displaystyle x\in D^{n},\xi \in \partial D^{n}=S^{n-1}} .

• Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1

• Quint, J.-F.: An overview of Patterson-Sullivan theory, Workshop "The barycenter method", FIM, Zurich, May 2006 (Online)

cite-note-11. ↑ Poisson-Integral. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.

cite-note-22. ↑ Poisson-Kern. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.